如何给出浮点数表示

给定一个实数, 如何给出其浮点数表示

• 基本流程

  • 首先计算出精确值

  • 将其转换为所需的精度

  如果是能够表示成为规格化浮点数的话, 就应该表示为 1 点 xxx 的形式, 然后乘上 2 的多少次方, 然后你这个点后面的多大长度也就是 2 的多少次方, 因为你最后有一个取值范围的限制, 也就是有个域宽, 所以你就要吻合这个宽度的限制. 这就是所需的精度.

  • 有可能会溢出 (如果指数的绝对值很大)

  • 有可能会需要完成舍入 (Rounding) 操作

    因为就是说你的这个 1 点 xxx 后面这个相当于精确的数字表示的宽度是有限的, 所以你要截断, 也就是去舍入.

下面给出了各种舍入的方式

给个例子, 它是用十进制作为例子

第一个就是 Zero, 说白了就是截掉, 不管你是 1.1 还是 1.9, 反正小数点后面的一刀给它切掉

然后 Round down 和 Round up, 这个我们就不去关注它了, 就是向上舍入和向下舍入

我们主要将最后一种, 向偶数舍入, 就是 Round-To-Even

向偶数舍入 (Round-To-Even)

• 这是计算机内默认的舍入方式, 也成为 "向最接近值的舍入"
  • 其他方式会产生系统误差 (statistically biased)

就是计算机内默认的, 碰上这种浮点数表示的时候, 默认的方式, 也成为 "向最接近值的舍入"

这是为什么呢 ?

就是说, 其他方式会产生统计误差, 一般来说就是有四舍五入这个说法. 那么如果碰上一个 .5 的话, 因为 .5 都是进位嘛, 那么这样的话会不会就是进的多了, 所以统计上会出现一个偏差, 就是这整个统计上面就是会多一点.

• 关键的设计决策是确定两个可能结果的中间数值的舍入
  • 确保舍入后最低有效数字是偶数

那么计算机方面怎么做呢, 就是说, 确保要向最接近值的舍入

打个比方, 以十进制这种舍入方式来讲的话, 如果你碰上这种 .5 的话, 把它砍掉还是说你要进位, 要确保舍入后, 最低有效数字是偶数

我们还是拿这个十进制做一个例子

假设我们只保留小数点后两位, 1.2349999 也好, 1.2350001 也好, 小数点百位以后, 就不是 .5 嘛, 或者比 .5 小或者比 .5 大

那这种情况下呢, 就该四舍五入, 这个原理上不变, 那么主要问题在什么地方, 如果正好是 1.235 或者说 1.245 0000 这种情况, 就是正好最后要舍入的那个或者要进位的那个是 .5 的话, 那这种情况怎么处理 ?

所以这个地方要做一个规定, 那它不是简单的四舍五入, 它要判断一下, 判断什么呢, 我要确保我舍入以后的最低有效数据是个偶数.

也就是说在这个例子里面, 百分位我要必须是一个偶数.

那么这样的话, 1.235 需要往前进一位, 如果不进位的话就是最后变为 1.23, 最低有效位就不是偶数了. 所以 1.235 要进位变成 1.24.

那么 1.245 呢, 因为它原来已经是偶数了, 你不能进位, 进位之后就是 1.25 最后是奇数了, 所以它还是 1.24, 就是变成 Round down 向下舍入这种方式.

这个就是计算机内部默认的方式, 就是说你要把一个整数转换成一个浮点数的, 它就是这么来做的.

那么反过来说, 如果你在 C 语言里面, 你如果要把一个浮点数转换成整数的话, 那它就很简单了, 它就把小数点后面砍掉.

刚才拿十进制作为例子就是 Round-To-Even, 那么对于二进制数而言是什么意思呢 ?

• 对于二进制数而言

  • "Even" 意味着最低有效数字需为 0

  我要确保最低有效数字处理完了之后是 0 而不是 1.

  • 而最低有效数字右侧的位串为 10000.....

  这个前提刚才说过了, 我什么时候采用这个规范呢, 就是说最低有效位数右侧的位串是 1 后面带全 0, 就相当于它是个 .5 的时候用这个规范.

  当然不是 .5 的话就是用四舍五入的这种方式.

• 实例, 假设把下面这些实数或者说分数

  • 舍入到小数点后两位

  Value	Binary	Rounded Action	Rounded Value
  2又3/32	10.00011B	10.00B (<1/2--down)	2
  2又3/16	10.00110B	10.01B (>1/2--up)	2又1/4
  2又7/8	10.11100B	11.00B (1/2--up)	3
  2又5/8	10.10100B	10.10B (1/2--down)	2又1/2

  比方说像第一个, 就是 10.000111B, 这个不需要考虑, 因为你最低有效数字右侧数为是 011, 没有到 .5 嘛, 所以就把它砍掉了

  第二个就是 10.00110B, 那它大于 100 就是进位

  第三个就是 10.11100B, 这肯定是向上进位, 因为它要确保你处理完了之后, 最低有效数字位是个 0.

  最后一个 10.10100B, 因为是 100 所以我们要考虑一下, 这个时候应该把它砍掉, 因为要确保最低有效数字位是个 0.

• 具体步骤

  • 将数值规格化 (前导 1)

  首先将数值规格化, 前导 1 就是转换成 1.xxx 再乘上 2 的多少次方的形式

  • 舍入 (Round to even) 以便符合尾数的位数要求

  然后就是舍入, 就是以 round to even 方式舍入, 来确保尾数符合要求

  • 后调整

  在之后可能会有一个后调整, 因为你舍入之后, 本来是 1.xxx 的形式, 那么有一个进位之后可能变成 10.xxx 的形式, 这个时候就需要挪一下, 做个后调整

浮点数规格化表示见上节内容

后调整

舍入操作可能引起溢出