# 浮点数的规格化与非规格化表示
我们大概知道浮点数在计算机内要分成三个域来表示, 具体怎么个表示法, 就是浮点数的类型, 我们分成三个方面来讲
IEEE754 标准把浮点数分成三个类型
目录 Table of Contents
浮点数的类型
- 规格化浮点数
- 非规格化浮点数
- 一些特殊值
规格化浮点数 (Normalized)
- 满足条件
EXP 域既不能是全 0, 也不能是全 1
我们上节课说过, 浮点数 0101 存到硬盘的时候, EXP 会做一个简单的转换
就是真实的阶码值需要减去一个偏置量
阶码是什么 ? 请看上节的图片, 数字形式
这个很好理解啊 (才怪), 我们把这个数字存到计算机内部的时候是一个 0101 二进制串, 那么这个 0101 串可以表示一个无符号数, 完了这个无符号数要减去一个偏置量, 这个才是它最终真正表达的那个 e, 也就是阶码的值.
因为把 exp 看成一个无符号数值的话, 那么它就是一个大于等于 0 的数, 但是 e 这个值本身肯定有正有负, 所以要减去一个偏置量.
那么偏置量 (bias) 怎么去计算呢 ?
它是 2^(e-1) - 1.
(图片偏置量的计算)
然后是 frac 域, frac 域就针对我们刚才说的 `(-1)^s * (2^e) * M`, 就对应这个 M.
这个公式也出现在上一节的图片中
M 一开始是多少呢, 就是应该是 1.xxx 这种形式, 我们说过它是一个表示 1.0 到 2.0 之间的一个数嘛, 左侧是闭区间. 为了提高表示的效率, 具体表示的时候, 只是取 M 小数点右侧的部分. 所以它最小表示为全 0, 实际上指 1.0; 那么最大就是全 1, 全 1 的真实数值实际上比 2.0 小一点点, 毕竟是开区间.
规格化浮点数示例
- Float F = 15213.0
我们把它十进制的表示, 转换成二进制 :
15213 D = 11101101101101 B = 1.1101101101101 B * 2^13
这个结果我们把它分开来看 :
(这就对应了 图-数字形式 里面的公式)
- 尾数 M = 1.1101101101101 B, 相当于它的有效数位就这些
刚刚说了, 如果它要存到硬盘里, 也就是表示为内部硬件的 frac 域的话, 小数点左侧的 1 是可以去掉的. 因为它是规格化的浮点数, 所以表示成 1101101101101 0000000000 B 这个形式, 后面的 0 是为了补齐, 因为它有 23 位.
- 阶码 E = 13
那么我们要把阶码表示成为内部硬件表示的 exp 域的话, 应该加上它的一个偏置量 bias = 127
算出来 exp = 140 = 10001100 B
然后我们就集大成把下面的这一块整个地给它结合起来
| Hex | 4 | 6 | 6 | D | B | 4 | 0 | 0 |
| Binary | 0100 | 0110 | 0110 | 1101 | 0100 | 0000 | 0000 | |
| 140 | 100 0110 0 | |||||||
| 15213 | *1*110 1101 1011 01 |
所以我们非常清楚地知道, 最终的二进制表示就是 : 第一位是 0, 0 就是它的符号位; 然后是阶码, 就是 100 0110 0; 再往后就是它的尾数, 尾数因为前导 1 已经去掉了, 所以就是后面那一串 110 1101 1011 01
非规格化浮点数 (Denormalized)
非规格化浮点数满足条件是 exp 为全 0.
E = - Bias + 1
Bias = 2^(e-1) - 1, e = exp 域的位数.
M = 0.xxxxxxx B, 小数点后面就是 frac 的比特数.
我们回想一下, 浮点数实质是什么. 比方说实数或者是整数, 要表示成 1.xxx 的这种形式, 然后乘上 2 的多少次方, **类似科学计数法**
但是如果这个 2 的多少次方, 这个特别小的话, 就是小到 2 的负多少多少次方都不够用了. 这种情况下这个 e 就不能变了, 因为 e 已经到头了最小了, 这时候我们要再去往小了表示, 就只能把小数点继续往左边移动. 这么往左边移动, 这个数的绝对值肯定变小了, 同时它数的精度是降低了.
所以它这个 M 就是 0 开头了.
具体示例
- 0
exp = 0....0000, frac = 0....0000
exp 和 frac 都是 0, 那么这个就表示 0 了. 在浮点数表示里面, 有 +0 和 -0, 当然 +0 和 -0 实际上就差了一个符号位, 当然它们是相等的.
- "非常接近" 于 0 的浮点数
exp = 000...0, frac != 0...0000
如果 exp 为全 0, frac 不等于全 0, 它就表示 "非常接近" 于 0 的浮点数.
就是这个值非常小了, 需要我们往左边移动小数点才能表示, 这就是逐步丧失精度.
一些特殊值
- 满足条件
exp = 111...1
- 具体示例
exp = 111...1, frac = 000...0
- - 表示无穷
- - - 可用于表示数值的溢出
- - - 有正无穷和负无穷
- 例如 : 1.0/0.0 = +∞, -1.0/0.0 = -∞
exp = 111...1, frac != 0000...0
- 表示不是数的数 Not-a-Number (NaN), 就是说计算机上的数在数学上没办法表达
- 例如 : √-1, ∞ - ∞, ∞ * 0
